Fotografía de Giacomo Carra, tomada de https://unsplash.com/photos/gf6UDwpl0ac

1. Representación gráfica y pronósticos 

Se usó una calculadora en línea [1] para la solución numérica y la representación gráfica del modelo epidemiológico SEIR para México y Michoacán: Susceptible (Susceptibles) → Exposed (Expuestos) → Infected (Infectados) → Removed (Removidos). El modelo también representa Hospitalized (Hospitalizados) y Fatalities (Fallecimientos). Se consideraron solamente pacientes hospitalizados de terapia intensiva (UCI y/o intubación).

Los modelos y la metodología están explicados en las secciones siguientes. En la Sección 4 se aclara por qué se multiplican los números de los gráficos con un factor 0.04, en el caso de México y con un factor 0.05, en el caso de Michoacán para obtener estimaciones realistas.

 Conclusiones para México: 

Conclusiones para Michoacán: 

2. El modelo matemático 

Los cálculos están basados en el modelo epidemiológico conocido como SEIR con compartimentos. Se considera una división de una población de N personas en los conjuntos disjuntos Susceptibles, Expuestos, Infectados, Recuperados, Hospitalizados de terapia intensiva y Fallecidos con la siguiente dinámica indicada por las flechas:

Esta dinámica se puede expresar en ecuaciones de diferencias contando los días n desde un día inicial:

1. 

El factor r₀ es conocido como factor reproductivo básico y representa el número de nuevos contagios causados por I(n) infectados en el periodo de días infecciosos T_inf . Si cada persona infectada contagia al inicio de la epidemia a r₀ personas, entonces en un día se infectan en promedio personas. Cuando el número de personas susceptibles se reduce, el virus encuentra con probabilidad de  a una persona susceptible, por lo tanto .

2.  

Las personas que se infectan según la Ecuación 1, se encuentran primero en un periodo de incubación y son consideradas \expuestos". Después de T_inc se vuelven \infectados", entonces en un día  personas dejan de ser expuestos.

3. 

Los expuestos de la Ecuación 2 se vuelven infectados y dejan de ser infectados después de T_inf .

4.

Se considera que la p parte de los infectados son casos graves y entran por T_h días en un hospital.

5. 

La 1—p parte de los infectados y la q parte de los hospitalizados se recuperan.

6.

La 1—p parte de los hospitalizados mueren.

Aunque se podrían resolver numéricamente las ecuaciones de diferencia, los matemáticos prefieren convertirlas en ecuaciones diferenciales obteniendo el siguiente sistema dinámico: 

 donde el parámetro continuo t denota el tiempo a partir de un \día 0". En este modelo, la unidad de tiempo es día.

Para resolver este sistema de ecuaciones diferenciales, se tienen que conocer los valores de los parámetros y las condiciones iniciales, es decir, los valores  en un día específico. En la próxima sección se explica cómo se determinan estos valores.

3. Metodología

Días Infecciosos: T_inf = 7.2
Para determinar este valor, se calculó el promedio de los días entre presentar síntomas y el ingreso como paciente, considerando que un paciente no contagia más personas por estar en un hospital o en cuarentena.

Cabe mencionar que 80% de las personas infectadas presentan pocos síntomas y no son detectadas por pruebas. Por otro lado, un artículo en Science [3] afirma que el Factor de Dispersión es muy bajo, concluyendo que 10% de los infectados causan 80% de los contagios. Si se aplican consistentemente pruebas a las personas con síntomas, se puede retirar a las personas de alto contagio (super spreaders) controlando así el valor de T_inf y la propagación del virus. De este modo, el valor T_inf refleja directamente las intervenciones gubernamentales.

Se consideraron 177 pacientes positivos de Morelia y se calculó un promedio de 5.2 días. A este valor, se sumaron 2 días contagiosos antes de presentar síntomas obteniendo el valor T_inf = 7.2. El mismo valor se aplica para México y Michoacán.

Factor reproductivo básico: r₀ > 1.6

Al inicio de la epidemia se tiene  y el factor reproductivo básico representa las nuevas infecciones causadas por I(n) infectados después de T_inf días, entonces , por lo tanto .

Suponiendo que el factor reproductivo diario  es constante, se obtiene

El problema es que el número de infectados confirmados está sujeto a la disponibilidad de pruebas y las capacidades de los laboratorios. Por otro lado, la mayoría de las personas gravemente afectadas van a acudir a un hospital, entonces el número de defunciones refleja mejor la dinámica de la epidemia. Considerando que un cierto ratio de los infectados muere, se obtiene , donde  denota el número total de fallecidos hasta el día n. Para mitigar las fluctuaciones diarias, se consideró el
promedio semanal  , entonces .

Esta fórmula para calcular el factor reproductivo es más precisa que la fórmula a base de los infectados confirmados, por los problemas mencionados. Las cifras de fallecidos están disponibles en los datos abiertos de la Secretaría de Salud [2]. Para determinar r_d para México, se tomó el promedio de los factores reproductivos diarios del periodo 1 de abril hasta 6 de mayo, y para Michoacán se consideró el periodo del 1 de mayo hasta el 26 de mayo. En ambos casos, el resultado fue r_d = 1.067. Tomando en cuenta que las personas que no son detectadas por la pruebas son infecciosas por un periodo mayor que 7.2 días, se obtiene .

Tiempo de incubación: T_inc = 3.2
Se consideró un promedio de 5.2 días hasta presentar síntomas y que una persona es infecciosa 2 días antes de presentar síntomas [4].

Tiempo en terapia intensiva: T_inc = 14
Se usó el valor mencionado en El Universal [5]. 

Ratio de sobrevivientes de terapia intensiva: q = 0.4
Hasta el día 17 de junio se registraron 2961 pacientes sobrevivientes intubados y/o de Unidades de Cuidado Intensivo (UCI). Además, del los 19 080 fallecidos confirmados, solamente 3 965 ingresaron a una UCI y/o fueron intubados [2]. Entonces el ratio de sobrevivientes de terapia intensiva es 

Ratio de infectados que requieren terapia intensiva: p = 0.04
Un estudio publicado en El Lancet [6] estimó que la mortalidad es del 3 %. Considerando que todos los fallecidos son casos graves y el ratio de sobrevivientes de terapia intensiva es 0.4, se estima que 3% + 0.4 x 3% ≈ 4% de los infectados requieren una terapia intensiva (UCI y/o intubación).

Días entre prueba positiva y defunción: T_∆ = 5
Usando los datos abiertos [2], se calculó el promedio de días entre el ingreso como paciente y la defunción para todos los fallecidos en Michoacán hasta el 28 de mayo. 

Condiciones iniciales: I(25 de marzo) = 6200 para México, I(29 de marzo) = 125 para Michoacán
Como se mencionó al final de la Sección 2, se tiene que determinar  en un día especifico  para poder resolver las ecuaciones diferenciales. Desafortunadamente se desconoce el número verdadero de infectados porque las pruebas solamente detectan los casos graves que acuden a un hospital. De modo similar al cálculo del factor reproductivo, es más confiable basar el análisis en el número de defunciones.

El 19 de junio hubo 22 874 fallecidos en México, de los cuales 2 425 no entraron en un hospital. Por eso se estima que aproximadamente el 10% de los fallecidos por Covid-19 no acuden a un hospital y por lo tanto nunca son registrados. Además hubo 1 567 defunciones con el resultado pendiente por más que 5 días, entonces aproximadamente el 7% de los fallecidos que acudieron a un hospital se quedan con el resultado pendiente. Por otro lado, se tienen 191 410 pacientes positivos y 251 355 pacientes negativos registrados, entonces se concluye que menos que la mitad de los fallecidos con resultado pendiente murieron por Covid-19. Como una estimación aproximada, se considera que se debe sumar una 1/8 parte de los fallecidos por Covid-19 que no son detectados por las pruebas. Anteriormente se observó un promedio de T_∆ = 5 días entre el ingreso como paciente y la defunción. Suponiendo una mortalidad de 3% [6], los 1.125 x 22 874 fallecidos hasta el 19 de junio corresponden a casos positivos hasta el 14 de junio. Por otro lado, hubo 169 139 casos confirmados hasta el 14 de junio, entonces las pruebas detectan solamente  de los infectados. El 80% de los infectados sin aplicar una prueba corresponde principalmente a los casos leves.

Para determinar las condiciones iniciales, se considera que el virus fue \importado" a México y Michoacán por personas infecciosas. Considerando un día temprano de la epidemia, se puede suponer que aún no hubo recuperados, hospitalizados ni fallecidos, entonces . Por simplicidad, se supone que todas las personas que importaron el virus se encontraron en el periodo infeccioso, es decir, . Debido a que nadie es inmune a este virus, el número de susceptibles  es aproximadamente la población total de México y Michoacán.

Para Michoacán se consideró el día = 29 de marzo con 25 casos confirmados, lo que corresponde a . Para México se consideró  = 25 de marzo con 1246 casos confirmados lo que corresponde a .

Intervenciones gubernamentales: 22 de abril
El día 21 de abril fue declarada la fase 3 en todo México. Se considera que la aplicación de medidas de aislamiento causó después del 21 de abril un decremento gradual del factor reproductivo  al valor calculado. Sin intervención gubernamental, el factor reproductivo  puede ser mayor que 3.28 [7].

4. Validez del modelo

Una gran parte de la población no participa en la propagación del virus por evitar exitosamente un contagio o por vivir en lugares remotos. Se observa que el modelo es invariante bajo un cambio de escala, es decir, si  es una solución de las ecuaciones diferenciales , entonces

por lo tanto  es una solución con la condiciones iniciales . La parte  de la población total representa a las personas que se quedan en cuarentena estricta (personas que evitan contagios o viven en un lugar remoto), mientras la  representa la parte de la población que participa activamente en la vida pública.

Para estimar el valor de, basta comparar un valor confiable con la predicción del modelo. Hasta el día 14 de junio hubo 20 621 fallecidos confirmados en México pero el modelo pronosticó 522 329 fallecidos, entonces . Análogamente, hasta el 19 de junio hubo 373 fallecidos confirmados en Michoacán y el modelo pronosticó 8 087 fallecidos, entonces .

Agradecimiento

Se extiende un agradecimiento especial al Dr. Alfredo Raya, Director del Instituto de Física y Matemáticas por su paciencia y valiosas discusiones sobre el tema.

Referencias

[1] https://gabgoh.github.io/COVID/index.html
[2] https://www.gob.mx/salud/documentos/datos-abiertos-152127
[3] https://www.sciencemag.org/news/2020/05/why-do-some-covid-19-patients-infect-many-others-
whereas-most-don-t-spread-virus-all
[4] https://www.acc.org/latest-in-cardiology/journal-scans/2020/05/11/15/18/the-incubation-period-
of-coronavirus-disease
[5] https://www.eluniversal.com.mx/ciencia-y-salud/salud/coronavirus-cuanto-tiempo-lleva-
recuperarse-de-la-covid-19
[6] https://www.thelancet.com/journals/lancet/article/PIIS0140-6736(20)30185-9/fulltext#tbl1
[7] https://academic.oup.com/jtm/article/27/2/taaa021/5735319 

ELMAR WAGNER

Instituto de Física y Matemáticas

Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo

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